Me he dado cuenta de que este resultado es muy importante en el desarrollo de ciertos problemas por lo que merece una demostración.

Sea A un abierto de la topología usual en \mathbb{R}. Si A es vacío podemos escribir A= (a,a) con a un número real cualquiera y el enunciado se verifica de forma trivial. Sea A no vacío. Es evidente que dado x \in A, existe al menos un \epsilon >0, tal que x \in (x-\epsilon, x+\epsilon) \subset A. Los conjuntos L=\{ a \in \overline{\mathbb{R}} : (a,x) \subset A \}, \quad U =\{b \in \overline{\mathbb{R}} : (x,b) \subset A \} son no vacíos, pues a=x-\epsilon \in L y b=x+\epsilon \in U. Además al considerar que están formados por elementos de la recta ampliada podemos obtener \inf L y \sup U (si L está acotado inferiormente, el valor del ínfimo será real y si no lo está será - \infty. Para el caso de U si está acotado superiormente, el valor será real y si no lo está será +\infty). Con ellos formamos el intervalo abierto I_{x} = (\inf L, \sup U ).

Si suponemos que existe otro intervalo abierto J tal que I_{x} \subset J \subset A, entonces, por definición de I_{x}, habrá de ser I_{x}=J. Se dice entonces que I_{x} es un intervalo componente. Consideremos la colección \{I_{x} : x \in A \} de los intervalos componentes. Es claro que A = \cup_{x \in A} I_{x}. Esta unión es disjunta ya que si x e y son elementos de A y z \in I_{x} \cap I_{y}, entonces
z \in I_{x} \subset I_{x} \cup I_{y} \subset A.
Pero I_{x} \cup I_{y} es un intervalo abierto (al ser su intersección no vacía) y, en consecuencia, I_{x} = I_{x} \cup I_{y}. Análogamente, se prueba que I_{y} = I_{x} \cup I_{y}. Por tanto, I_{x} = I_{y}. Finalmente, consideremos el conjunto \mathbb{Q} de los números racionales en la forma
\mathbb{Q}= \{q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{m}, \ldots \}
En cada intervalo componente I_{x} de A habrá números racionales. La aplicación f: \{I_{x} : x \in A \} \rightarrow \mathbb{N}, definida por
f(I_{x}) = \min \{n \in \mathbb{N} : q_{n} \in I_{x} \}
es inyectiva, ya que si f(I_{x}) = f(I_{y}) entonces existe un racional q que pertenece a ambos intervalos y al ser éstos disjuntos concluimos que I_{x} = I_{y}. Por tanto,
|\{I_{x} : x \in A \}| \leq |\mathbb{N}|
y la unión es numerable.