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Solución:

a) Intentamos despejar el valor de x, teniendo en cuenta el subconjunto del plano S para que el que la expresión tiene sentido. De esta manera, como \arccos y está definida para el intervalo [-1,1], tenemos que si (x,y) \in S \subset \mathbb{R} \times [-1,1], entonces de

x^2 - \arccos y = \pi,

tenemos que

\arccos y = x^2 - \pi,

y = \cos (x^2 -\pi) = -\cos (x^2), con x \in \mathbb{R}, (recordemos que \cos (a -\pi) = - \cos a).

b) Esta expresión exponencial puede simplificarse mediante

10^y = 10-10^x,

y = \log(10-10^x).

Pero hemos de tener en cuenta que 10 -10^x >0, esto es -10^x > -10, o bien 10^x < 10, de donde x<1.

c) Aquí hemos de tener en cuenta la definición de valor absoluto. Por tanto, si y \geq 0, resulta

x+y = 2y,

x-y = 0,

y=x, x \geq 0.

Mientras que si y <0, es

x-y = 2y,

x-3y = 0,

y = \frac{1}{3} x, x <0.