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Solución:

5. Supongamos que a > b, entonces tomando \epsilon = \frac{1}{2} (a-b) >0, hallaremos un N \in \mathbb{N} tal que si n \geq N, es

|a_n -a| < \frac{1}{2} (a-b).

Esto es,

\frac{1}{2} (b-a) < a_n -a < \frac{1}{2} (a-b).    (1)

Tomando el lado izquierdo de (1) y sumando a tenemos

\frac{1}{2} (b+a) < a_n, para n \geq N.  (2)

Pero como hemos supuesto que a >b, concluimos que

b = \frac{1}{2}(b+b) <\frac{1}{2} (b+a) < a_n, para n \geq N.

Esto contradice la suposición inicial de que a_n \leq b para todo n y por ello habrá de ser a \leq b. Obsérvese que hemos probado que el límite de la sucesión será siempre menor o igual que cualquier valor que sea mayor o igual que cada uno de sus elementos.

Sea S = \{a_n : n \in \mathbb{N} \} el recorrido de la sucesión. Evidentemente este conjunto es no vacío. Como hemos supuesto que a_n \leq b, para todo entero positivo n, resulta que dicho conjunto está acotado superiormente y el axioma del supremo garantiza la existencia de \sup S. Por definición es

a_n \leq \sup S, para todo n. (3)

Por lo que haciendo b = \sup S (recordemos el primer apartado ya probado), podemos afirmar que

a= \lim_n a_n \leq \sup S.

6.  Sea (a_n) una sucesión convergente de números reales y sea a su límite. Probaremos primero que el conjunto S = \{a_n : n \in \mathbb{N} \} está acotado. Consideramos \epsilon = 1, hallaremos un entero positivo N, de forma que

|a_n -a | < 1, para n \geq N. (4)

Es decir, -1 < a_n -a < 1 y de aquí a-1 < a_n <a+1. Tomando

L= \min (\{ a_n : n < N \} \cup \{ a-1 \}),

U = \max (\{a_n : n < N \} \cup \{a+1\}),

podemos asegurar que L \leq a_n \leq U, para todo entero positivo n. Esto prueba que S está acotado. En el ejercicio anterior demostramos que en este caso

\lim_n a_n \leq \sup S. (5)

Ahora veremos que se da la desigualdad correspondiente para el ínfimo del recorrido de la sucesión. El desarrollo es en todo similar al ya visto para el caso del supremo. Empezamos suponiendo que existe b con b \leq a_n, para todo n y que a es el límite de la sucesión a_n. Si fuera a <b, entonces para \epsilon = \frac{1}{2} (b-a), concluiríamos que existe un entero positivo N para el que si n \geq N, entonces

a_n -a < \frac{1}{2}(b-a).   (6)

Sumamos a a ambos miembros de (5) y vemos que

a_n < \frac{1}{2}(a+b) <\frac{1}{2}(b+b) = b, para n \geq N.

Esto contradice nuestra suposición inicial por lo que a= \lim_n a_n \geq b. En definitiva, si una sucesión convergente tiene su recorrido acotado inferiormente por b entonces el límite de dicha sucesión es mayor que b. Evidentemente, \inf S es una cota inferior del recorrido por lo que

\inf S \leq \lim_n a_n. (7)

Las desigualdades (5) y (7) son las buscadas en este problema.