Solución:

5. Supongamos que , entonces tomando , hallaremos un tal que si , es

.

Esto es,

.    (1)

Tomando el lado izquierdo de (1) y sumando tenemos

, para .  (2)

Pero como hemos supuesto que , concluimos que

, para .

Esto contradice la suposición inicial de que para todo y por ello habrá de ser . Obsérvese que hemos probado que el límite de la sucesión será siempre menor o igual que cualquier valor que sea mayor o igual que cada uno de sus elementos.

Sea  el recorrido de la sucesión. Evidentemente este conjunto es no vacío. Como hemos supuesto que , para todo entero positivo , resulta que dicho conjunto está acotado superiormente y el axioma del supremo garantiza la existencia de . Por definición es

, para todo . (3)

Por lo que haciendo (recordemos el primer apartado ya probado), podemos afirmar que

.

6.  Sea una sucesión convergente de números reales y sea su límite. Probaremos primero que el conjunto está acotado. Consideramos , hallaremos un entero positivo , de forma que

, para . (4)

Es decir, y de aquí . Tomando

,

,

podemos asegurar que , para todo entero positivo . Esto prueba que está acotado. En el ejercicio anterior demostramos que en este caso

. (5)

Ahora veremos que se da la desigualdad correspondiente para el ínfimo del recorrido de la sucesión. El desarrollo es en todo similar al ya visto para el caso del supremo. Empezamos suponiendo que existe con , para todo y que es el límite de la sucesión . Si fuera , entonces para , concluiríamos que existe un entero positivo para el que si , entonces

.   (6)

Sumamos a ambos miembros de (5) y vemos que

, para .

Esto contradice nuestra suposición inicial por lo que . En definitiva, si una sucesión convergente tiene su recorrido acotado inferiormente por entonces el límite de dicha sucesión es mayor que . Evidentemente, es una cota inferior del recorrido por lo que

. (7)

Las desigualdades (5) y (7) son las buscadas en este problema.