En la lectura 9 hemos probado que un espacio vectorial que tienen una base formada por un número finito de elementos tiene todas sus bases con el mismo cardinal. Ahora probaremos el mismo hecho para espacios vectoriales con bases que tengan un número infinito de elementos.
Teorema: Sea un espacio vectorial y sea
una base de Hamel de
con cardinal infinito. Entonces si
es otra base de Hamel de
, se tiene que el cardinal de
es el mismo que el de
.
Prueba. Sea un elemento de la base
. Entonces hallaremos un subconjunto finito y no vacío
de la base
, de forma que
es combinación lineal con coeficientes no nulos de elementos de
. Es decir,
depende linealmente de
. Reiterando este proceso formamos el conjunto
,
que obviamente es un subconjunto de pues cada uno de los elementos de la unión es subconjunto de
. A continuación probaremos que
. Para ello nos falta la inclusión
. Sea pues
un elemento de
. Podremos encontrar un subconjunto finito
de elementos de , cuya combinación lineal con coeficientes no nulos da lugar a
. Para cada uno de los
, hemos definido previamente los subconjuntos
de
, por lo que
es un subconjunto de que genera
. Si dicho
perteneciera a
, entonces
sería linealmente dependiente pues
dependería linealmente de
. Así pues
y
.
Llegados a este punto utilizaremos la notación para indicar el cardinal del conjunto
y la notación
para el cardinal de los enteros positivos. Las propiedades de los cardinales (que veremos en una ampliación a esta lectura) permiten escribir
.
Esto prueba que el cardinal de y el de
son iguales.
hola que tal, tengo unos problemas de algebra superior y queria saber si ustedes me podrian ayudar a resolverlos
Pues lo intentaremos. Envíanoslos a esta bitácora o al correo mathematikus@gmail.com