En la entrada 11 de este curso hemos probado que la intersección de subespacios de un mismo espacio vectorial siempre es un subespacio (eventualmente puede ser el subespacio trivial \{0\}). Sin embargo, la unión de subespacios no siempre es un subespacio. Para ello bastará un contraejemplo.

Contraejemplo 1.. Sea el espacio vectorial real \mathbb{R}^{2} con las operaciones usuales. Consideremos los subespacios S = \{(x,y) : x+y = 0 \} y T = \{(x,y): x-y = 0 \}. El conjunto S \cup T no es un subespacio. En efecto, si tomamos (1,-1) \in S y (1,1) \in T, su suma (2,0), no es un elemento de la unión ya que no verifica ninguna de las condiciones para pertenecer a S o a T.

La forma natural de definir el subespacio vectorial más “pequeño” que contiene a la unión de dos subespacios es utilizar la suma de estos. Pero antes debemos definir qué entendemos por suma de conjuntos de vectores.

Definición 1. Sean A y B dos subconjuntos no vacíos del K-espacio vectorial E. El conjunto suma A+B se define como el formado por las sumas x+y, donde x \in A e y \in B.

Escribiremos x+A, en lugar de \{x\}+A. Es fácil comprobar que la definición es consistente y que además verifica para cualesquiera A,B,C,D \subset E:
1. A+B = B+A.
2. A+\{0\} = A.
3. A+(B+C) = (A+B)+C.
4. Si A \subset C y B \subset D, entonces A+B \subset C+D.

Extendemos esta definición para el caso en que uno de los sumandos sea el conjunto vacío y así decimos que A+ \emptyset = \emptyset+A =A, para todo A \subset E. En particular, \emptyset+\emptyset = \emptyset. También podemos definir la suma un número finito de sumandos en base a las propiedades 1 y 3:

Definición 2. Sean A_i con i=1,2,\ldots, n, subconjuntos del K-espacio vectorial E. Entonces
\sum_{i=1}^{n} A_i = \{ \sum_{i=1}^{n} x_i : x_i \in A_i \}

Nuestro afán de generalidad nos lleva a definir la suma para una familia arbitraria de subconjuntos.

Definición 3. Sean (A_i)_{i \in I} una familia no vacía de subconjuntos del K-espacio vectorial E. Entonces
\sum_{i\in I} A_i = \{ \sum_{j=1}^{n} x_j : n \in \mathbb{N}, x_j \in \cup_{\in I} A_i \}

Es decir, se trata del conjunto de las sumas finitas de elementos de la unión de los conjuntos de la familia. Una vez establecidas estas definiciones vamos a probar el resultado central de esta lectura.

Teorema 1. Sean (S_i)_{i \in I} una familia no vacía de subespacios del K-espacio vectorial E. Entonces la suma \sum_{i \in I} S_i coincide con la envoltura lineal de la unión \sum_{i \in I} S_i

Prueba. Sean x e y dos elementos de \sum_{i \in I} S_{i} y sean \lambda, \mu dos escalares de K. Entonces existen enteros positivos n,m y familias finitas (x_{j})_{j=1}^{n}, (y_{k})_{k=1}^{m} de elementos de \cup_{i \in I} S_{i} tales que
x = \sum_{j=1}^{n} x_{j}, \quad y = \sum_{k=1}^{m} y_{k}.
Por tanto,
\lambda x + \mu y = \lambda \sum_{j=1}^{n} x_{j} + \mu \sum_{k=1}^{m} y_{k} = \sum_{j=1}^{n} \lambda x_{j} +\sum_{k=1}^{m} \mu y_{k}.
Ahora bien, para cada (j,k) de \{1,\ldots, n \} \times \{1, \ldots, m \} existe (i_{j}, i_{k}) de I \times I tal que x_{j} \in S_{i_{j}} e y_{k} \in S_{i_{k}}, luego \lambda x_{j} \in S_{i_{j}} y \mu y_{k} \in S_{i_{k}} (ya que la familia (S_{i})_{i \in I} está formada por subespacios de E). Esto significa que tanto \lambda x_{j} como \mu y_{k} son elementos de \cup_{i \in I} S_{i} y la combinación lineal \lambda x + \mu y es también un elemento de \sum_{i \in I} S_{i} pues se reduce a una suma finita de elementos de la unión de la familia de subespacios. Esto prueba que \sum_{i \in I} S_{i} es un subespacio de E.

Evidentemente, para cada i de I es S_{i} un subconjunto de \sum_{i \in I} S_{i} (bastará ver que cada x \in S_i se expresa como suma finita de elementos de la unión en la forma trivial x = x). Por tanto, \cup_{i \in I} S_{i} también es un subconjunto de \sum_{i \in I} S_{i} lo que junto con su carácter de subespacio nos lleva a afirmar que \sum_{i \in I} S_{i} pertenece a la clase \mathcal{L} (\cup_{i \in I} S_{i}) y por tanto L(\cup_{i \in I} S_{i}) \subset \sum_{i \in I} S_{i}. Para acabar, si H es un subespacio de E que incluye a \cup_{i \in I} S_{i}, entonces ha de incluir a las sumas finitas de sus elementos. Es decir, \sum_{i \in I} S_{i} \subset H y de aquí \sum_{i \in I} S_{i} \subset L(\cup_{i \in I} S_{i}). La doble inclusión nos lleva a la igualdad buscada y termina la demostración.