Sea un conjunto. Decimos que una colección
de partes de
es una topología sobre
si verifica las propiedades siguientes:
(a) el vacío y pertenecen a
.
(b) La unión de elementos de es un elemento de
.
(c) La intersección finita de elementos de es un elemento de
.
El par se denomina entonces espacio topológico. En general, se dice simplemente que
es un espacio topológico omitiendo la mención a
siempre que no haya confusión.
Los conjuntos que pertenecen a se llaman abiertos de dicha topología. En resumen, una topología sobre un conjunto es cualquier colección de partes de dicho conjunto que contenga al vacío y al total y que sea cerrada para la unión arbitraria y la intersección finita. En general, sobre un mismo conjunto se pueden definir varias topologías.
También podemos definir de una manera equivalente una topología utilizando un sistema de filtros.
Definición 1. Una familia no vacía |
Una base del filtro es cualquier subcolección no vacía
de
para la que, dado cualquier
, existe al menos un
con
. Las bases de filtro tampoco contienen al vacío (pues son una subcolección no vacía de una colección que no contiene al vacío). Es evidente que todo filtro es base de sí mismo pero también es posible que un filtro tenga más de una base. Interesa pues ver qué propiedades tienen las bases de filtro.
Teorema 1. Una familia no vacía |
Prueba. Consideremos un filtro y supongamos que
es una base de dicho filtro. En tal caso, si
son elementos de
se sigue que
pertenecen al filtro y, en consecuencia,
(pues los filtros son cerrados para la intersección finita). Solo resta considerar que al ser
una base del filtro, hallaremos
en
, tal que
. Recíprocamente, supongamos que existe una familia no vacía
de partes de
que verifica las condiciones para ser una base de filtro. Definimos la clase
. Es decir, la colección de todos los subconjuntos de
que incluyen a alguno de
. Afirmamos que
es un filtro y que
es una de sus bases. En efecto,
es no vacía pues todos los elementos de
están por definición en
. Además no contiene al vacío pues ningún elemento de
es vacío. Sean
elementos de
, hallaremos
en
, tales que
y
. Como
es una base de filtro, hallaremos
, tal que
. Lo que prueba que
es un elemento de
. Finalmente, si
es un subconjunto de
que contiene a algún
, entonces existe
, tal que
y de aquí
. Esto termina la demostración.
Sea ahora un espacio topológico. Decimos que un conjunto
es un entorno de un punto
si existe al menos un abierto
tal que
. Según esta definición, los abiertos son entornos de todos sus puntos. Consideremos
fijo y definamos la familia
. Esto es, la familia de todos los entornos del punto
. Afirmamos que dicha familia es un filtro.
Teorema 2. La colección de entornos de un punto |
Prueba. En primer lugar, si es un entorno de
, entonces
por lo que ningún entorno es vacío. Sean
y
, entornos de
. Hallaremos abiertos
y
, tales que
y
. Por ello,
y como
es abierto, se sigue que
es un entorno de
. Finalmente, si
es un subconjunto de
y existe un entorno
de
, tal que
, es inmediato que hallaremos un abierto
con
, lo que implica que
es un entorno de
.
Así en un espacio topológico podemos definir una colección de filtros de entornos . Tal colección resulta ser un sistema pues están relacionados unos filtros con otros como muestra la condición (b) del siguiente teorema.
Teorema 3. Sea |
(a) Para todo |
(b) Si |
Prueba. La propiedad (a) es inmediata. Veamos (b). Sea un entorno de
. Hallaremos un abierto
, de forma que
. Como
es abierto, entonces trivialmente es entorno de
(y de todos sus puntos). Escribimos
, y podemos concluir que si
, entonces de
, se sigue que
.
El teorema anterior nos da la clave para definir una topología a partir de un sistema de filtros.
Teorema 4. Sea |
Prueba. Sea un elemento de
. Por (a), resulta que
, para todo
. Esto significa que
pertenece a
(no olvidemos que dicha colección es un filtro) y, en consecuencia, para todo
es
y
. El conjunto vacío también pertenece a
pues verifica la condición necesaria por omisión. Sean
y
dos elementos de
y sea
. Si dicha intersección es vacía entonces pertenece a
y si no lo es, dado
, resulta que
y también
. Supongamos que
es una base del filtro
(sabemos que todo filtro tiene al menos una base). Entonces, hallaremos
, tales que
. Pero esto prueba que
pues contiene a un elemento de la base del filtro
. Así pues,
. Finalmente, si
es una colección de elementos de
, y
es un elemento de
, hallaremos un
para el que
. Esto es,
. Pero como
, se sigue que la unión también pertenece al filtro
y de aquí que dicha unión sea un elemento de
.