Desigualdades simples con valor absoluto

Vamos a explicar cómo se resuelven inecuaciones del tipo

,

,

donde es un función polinómica con grado mayor o igual que uno y es un número real positivo. Para ello vamos a usar la idea de “distancia” que pasamos a definir.

Una función es una métrica o distancia si verifica

a) , para todos .

b) , para todos .

c) si y sólo si .

d) , para todos .

Es fácil comprobar que la función

es una métrica. Gráficamente nos da la distancia geométrica entre los puntos e de la recta real y como

vemos que el valor absoluto de un número real es la distancia de dicho número al origen. Usando estas ideas vamos a desarrollar el método general para la resolución de inecuaciones sencillas con valores absolutos. Vamos a verlo con un ejemplo. Consideremos la inecuación

.

La reescribimos como

y recordando la definición de distancia, si hacemos , entonces equivale a

.

Por tanto, buscamos los que sean mayores o iguales que o bien menores o iguales  que . En resumen, debemos resolver las inecuaciones

,

.
Estas inecuaciones son polinómicas y resultan sencillas de resolver. El primer paso es ponerlas en forma normal:

,
.

La primera no tiene solución (ver gráfica en rojo) y la segunda (en azul) tiene por solución el conjunto . Esta es la solución buscada.

En general, si tenemos

lo interpretamos como la distancia entre y 0 y así la solución se halla a través de las inecuaciones

y si tenemos entonces la solución se halla a través de las inecuaciones

.

Podemos simplificar un poco el proceso mediante algunas simplificaciones como en el ejemplo pero todo dependerá de la dificultad del polinomio.