La topología es la rama de las matemáticas que estudia las propiedades que se mantienen inalteradas mediante transformaciones continuas. Su aplicación en el Análisis es fundamental y esclarecedora. En particular, vamos a ver cómo definir el límite de una sucesión de números reales de una manera topológica extremadamente sencilla.

Sea p un punto de la recta real. Un entorno de p de radio r >0 no es más que el intervalo

(p-r, p+r).

Una sucesión (a_n) de números reales se puede concebir como una lista ordenada e infinita de números reales

(a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n, a_{n+1}, \ldots ),

donde por supuesto pueden existir elementos repetidos (incluso infinitos elementos repetidos). Por ejemplo, la sucesión

(1,2,2,2,2,2,2, \ldots ),

cuyo término general es a_n =1 si n=1, a_n =2 si n \geq 2 .

Pues bien, una sucesión a_n es convergente a p o bien tiene por límite p si y sólo si para cada entorno de p podemos encontrar una infinidad de términos de la sucesión dentro de él y una cantidad finita fuera. En símbolos, para todo r>0 existe m tal que si n \geq m se tiene que

a_n \in (p-r, p+r).

Lo importante es que esto ocurra para cualquier r>0.

sucesion-1