Funciones monótonas (IV)

Sea $I$ un intervalo no vacío de la recta real. Recordemos que la propiedad definitoria de un intervalo es que si $a,b$ son elementos del intervalo con $a <b$ , entonces existe un $c$ de dicho intervalo que verifica $a<c<b$ . Esto mismo puede trasladarse con ciertos matices a las funciones que se definan sobre intervalos. Así decimos que una función real $f$ definida sobre un intervalo $I$ verifica la propiedad del valor intermedio si para cualesquiera $a,b \in I$ con $a<b$ , si $r$ es un valor entre $f(a)$ y $f(b)$ , entonces hallaremos cierto $x \in [a,b]$ que cumple $f(x)=r$ . Obsérvese que si $f(a)=f(b)=r$ , bastará tomar $a$ o $b$ para que esto sea cierto y, en consecuencia, las funciones constantes verifican trivialmente la propiedad del valor intermedio. Lo más interesante de las funciones con esta propiedad es que transforman intervalos en intervalos (aunque no necesariamente del mismo tipo).

Teorema 1: Sea $I$ un intervalo no vacío de la recta real y sea $f:I \rightarrow \mathbb{R}$ una función que verifica la propiedad del valor intermedio. Entonces $f(I)$ es un intervalo.

Prueba: Obviamente $f(I)$ es no vacío. Si $I$ consiste en un sólo punto entonces $f(I)$ también consiste en un sólo punto y también es un intervalo. Supongamos que $I$ tiene más de un punto y sean $c,d$ elementos de $f(I)$ con $c<d$ . Hallaremos $a,b \in I$ con $f(a)=c$ y $f(b)=d$ . Si $r \in (c,d)$ , la propiedad del valor intermedio nos asegura que existe un $x \in I$ entre $a$ y $b$ (no preciso si uno es mayor que el otro) tal que $f(x)=r$ , luego $r=f(x) \in f(I)$ y $f(I)$ es un intervalo.

Es fácil comprobar que no toda función monótona tiene la propiedad del valor intermedio. Por ejemplo, la gráfica siguiente nos muestra como una función monótona creciente transforma el intervalo $[0,1]$ en dos subintervalos disjuntos.

Vamos a probar que las funciones reales de variable real continuas verifican la propiedad del valor intermedio y, en consecuencia, transforman intervalos en intervalos. Primero necesitamos algunos resultados.

Teorema 2: Sea $I$ un intervalo no vacío y sea $f$ una función real continua en un punto $p$ de $I$ y con $f(p) \neq 0$ . Entonces existe un $\delta >0$ tal que $f(x)$ tiene el mismo signo que $f(p)$ en $(p-\delta, p+\delta) \cap I$ .

Prueba: Supongamos que $f(p)>0$ . Como $f$ es continua en $p$ , dado $\epsilon = \frac{f(p)}{2}$ , hallaremos $\delta>0$ tal que

$x \in (p-\delta , p+\delta)\cap I$ implica $-\frac{f(p)}{2} < f(x)< \frac{f(p)}{2}$ .

Esto es, $\frac{f(p)}{2} <f(x) < fra{3f(p)}{2}$ si $x \in (p-\delta, p+\delta) \cap I$ , lo que prueba que en dicho entorno de $p$ la función $f(x)$ tiene el mismo signo que $f(p)$ . Si fuera $f(p)<0$ , tomamos $\epsilon = -\frac{f(p)}{2}$ y el desarrollo es análogo.

Teorema 3: (Bolzano). Sea $[a,b]$ un compacto de la recta real y sea $f$ una función real continua en dicho compacto y con $f(a)f(b)<0$ (extremos de distinto signo). Entonces hallaremos al menos un $c \in (a,b)$ tal que $f(c) = 0$ .

Prueba: Supongamos que $f(a)>0$ y $f(b)<0$ . Definimos el conjunto

$A = \{x \in [a,b]: f(x) \geq 0$ .

Es decir, los puntos del compacto donde la función es no negativa. Obviamente $A$ es no vacío pues al menos $a$ pertence a $A$ . Además está acotado por $b$ . Esto significa que existe y es único el valor $c= \sup A$ . Probaremos que $f(c)=0$ . En efecto, si no fuera así, sería $f(c)>0$ y aplicando el teorema anterior, existiría un entorno de $c$ donde $f$ tendría signo positivo. Esto, es habría al menos un $x_0>c$ que está en $A$ . Esto contradice la definición de $c$ por lo que no es posible. Del mismo modo, si fuera $f(c)<0$ , hallaríamos un entorno $(c-\delta, c+\delta)$ de $c$ donde $f$ es negativa. Ahora bien, por definición del supremo hallaríamos un $x_0 \in A$ tal que $c- \delta <x_0 <c$ . Pero esto no es posible pues para dicho $x_0$ sería $f(x_0) \geq 0$ . Para evitar estas contradicciones concluimos que $f(c)=0$ .

Teorema 4: Sea $f$ una función real continua en un intervalo compacto $[a,b]$ . Sean $x$ y $x'$ dos puntos de $[a,b]$ con $x <x'$ . Entonces $f$ toma todos los valores comprendidos entre $f(x)$ y $f(x')$ .

Prueba: La continuidad en $[a,b]$ implica la continuidad en $[x,x']$ . Sea $\alpha$ un número real comprendido entre $f(x)$ y $f(x')$ . Definimos la función $g(x)=f(x)-\alpha$ y resulta continua en $[x,x']$ con $g(x)g(x') <0$ . Aplicando el teorema de Bolzano, hallamos un $x<c<x'$ tal que

$g(c) =f(c) - \alpha =0$ .

Esto es, $f(c) =\alpha$ .

Teorema 5: Sea $I$ un intervalo no vacío ni reducido a un punto y sea $f$ una función real continua en dicho intervalo. Entonces $f(I)$ es un intervalo.

Prueba: Sean $\alpha, \beta$ dos elementos de $f(I)$ . Si $f(I)$ fuera un conjunto unipuntual no habría nada que probar. Supongamos que existen $\alpha, \beta$ en $f(I)$ con $\alpha < \beta$ . Hallaremos $a,b \in I$ , tales que $f(a) = \alpha$ y $f(b)= \beta$ . Ahora bien, es evidente que $a \neq b$ por lo que podemos suponer sin pérdida de generalidad que $a<b$ . Entonces la función $f$ es continua en el compacto $[a,b] \subset I$ y aplicando el teorema 4 concluimos que existe $a<c<b$ tal que $f(c)$ está comprendido entre $\alpha$ y $\beta$ . Esto significa que $f$ cumple la propiedad del valor intermedio y, en consecuencia, $f(I)$ es un intervalo.