Sea un intervalo no vacío de la recta real. Recordemos que la propiedad definitoria de un intervalo es que si
son elementos del intervalo con
, entonces existe un
de dicho intervalo que verifica
. Esto mismo puede trasladarse con ciertos matices a las funciones que se definan sobre intervalos. Así decimos que una función real
definida sobre un intervalo
verifica la propiedad del valor intermedio si para cualesquiera
con
, si
es un valor entre
y
, entonces hallaremos cierto
que cumple
. Obsérvese que si
, bastará tomar
o
para que esto sea cierto y, en consecuencia, las funciones constantes verifican trivialmente la propiedad del valor intermedio. Lo más interesante de las funciones con esta propiedad es que transforman intervalos en intervalos (aunque no necesariamente del mismo tipo).
Teorema 1: Sea un intervalo no vacío de la recta real y sea
una función que verifica la propiedad del valor intermedio. Entonces
es un intervalo.
Prueba: Obviamente es no vacío. Si
consiste en un sólo punto entonces
también consiste en un sólo punto y también es un intervalo. Supongamos que
tiene más de un punto y sean
elementos de
con
. Hallaremos
con
y
. Si
, la propiedad del valor intermedio nos asegura que existe un
entre
y
(no preciso si uno es mayor que el otro) tal que
, luego
y
es un intervalo.
Es fácil comprobar que no toda función monótona tiene la propiedad del valor intermedio. Por ejemplo, la gráfica siguiente nos muestra como una función monótona creciente transforma el intervalo en dos subintervalos disjuntos.
Vamos a probar que las funciones reales de variable real continuas verifican la propiedad del valor intermedio y, en consecuencia, transforman intervalos en intervalos. Primero necesitamos algunos resultados.
Teorema 2: Sea un intervalo no vacío y sea
una función real continua en un punto
de
y con
. Entonces existe un
tal que
tiene el mismo signo que
en
.
Prueba: Supongamos que . Como
es continua en
, dado
, hallaremos
tal que
implica
.
Esto es, si
, lo que prueba que en dicho entorno de
la función
tiene el mismo signo que
. Si fuera
, tomamos
y el desarrollo es análogo.
Teorema 3: (Bolzano). Sea un compacto de la recta real y sea
una función real continua en dicho compacto y con
(extremos de distinto signo). Entonces hallaremos al menos un
tal que
.
Prueba: Supongamos que y
. Definimos el conjunto
.
Es decir, los puntos del compacto donde la función es no negativa. Obviamente es no vacío pues al menos
pertence a
. Además está acotado por
. Esto significa que existe y es único el valor
. Probaremos que
. En efecto, si no fuera así, sería
y aplicando el teorema anterior, existiría un entorno de
donde
tendría signo positivo. Esto, es habría al menos un
que está en
. Esto contradice la definición de
por lo que no es posible. Del mismo modo, si fuera
, hallaríamos un entorno
de
donde
es negativa. Ahora bien, por definición del supremo hallaríamos un
tal que
. Pero esto no es posible pues para dicho
sería
. Para evitar estas contradicciones concluimos que
.
Teorema 4: Sea una función real continua en un intervalo compacto
. Sean
y
dos puntos de
con
. Entonces
toma todos los valores comprendidos entre
y
.
Prueba: La continuidad en implica la continuidad en
. Sea
un número real comprendido entre
y
. Definimos la función
y resulta continua en
con
. Aplicando el teorema de Bolzano, hallamos un
tal que
.
Esto es, .
Teorema 5: Sea un intervalo no vacío ni reducido a un punto y sea
una función real continua en dicho intervalo. Entonces
es un intervalo.
Prueba: Sean dos elementos de
. Si
fuera un conjunto unipuntual no habría nada que probar. Supongamos que existen
en
con
. Hallaremos
, tales que
y
. Ahora bien, es evidente que
por lo que podemos suponer sin pérdida de generalidad que
. Entonces la función
es continua en el compacto
y aplicando el teorema 4 concluimos que existe
tal que
está comprendido entre
y
. Esto significa que
cumple la propiedad del valor intermedio y, en consecuencia,
es un intervalo.
Podemos precisar más si el intervalo en cuestión es compacto. Pero eso lo veremos en la siguiente entrada de esta serie