Mathematicae

Corrección errata

En los problemas del Capítulo uno del borrador del texto sobre Teoría de la Medida hay una errata que ya he corregido. Este es el enunciado correcto.

Problema: Sean \mathcal{S}_1 y \mathcal{S}_2, semianillos sobre X e Y, respectivamente. Probar que el producto \mathcal{S}_1 \times \mathcal{S}_2 es un semianillo sobre X \times Y.
¿Cómo podemos utilizar este resultado para resolver el problema anterior?}
Solución: Sabemos que el vacío pertenece a todo semianillo. Por tanto,
\emptyset \times \emptyset = \emptyset \in \mathcal{S}_1 \times \mathcal{S}_2 .
Sean E y F elementos de \mathcal{S}_1 \times \mathcal{S}_2. Hallaremos A_1, B_1 \in \mathcal{S}_1 y A_2, B_2 \in \mathcal{S}_2, tales que
E = A_1 \times A_2, \quad F = B_1 \times B_2.
Por ello,
E \cap F = (A_1 \times A_2) \cap (B_1 \times B_2) = (A_1 \cap B_1) \times (A_2 \cap B_2).
Pero todo semianillo es un \pi-sistema por lo que A_1 \cap B_1 \in \mathcal{S}_1, A_2 \cap B_2 \in \mathcal{S}_2 y E \cap F \in \mathcal{S}_1 \times \mathcal{S}_2. Por tanto, el producto cartesiano de semianillos también es un \pi-sistema. Por otro lado,
E-F = (A_1 \times A_2)- (B_1 \times B_2) = ((A_1-B_1) \times A_2)) \biguplus ((A_1 \cap B_1) \times (A_2-B_2)).
Pero sabemos que A_1-B_1 = \biguplus_{i=1}^{n} C_i y A_2-B_2 = \biguplus_{j=1}^{m} D_j, donde C_i \in \mathcal{S}_1 y D_j \in \mathcal{S}_2. Por tanto, si hacemos A_1 \cap B_1 = H_1 \in \mathcal{S}_1, tenemos
E-F = ((A_1-B_1) \times A_2) \biguplus (H_1 \times (A_2-B_2)) =
((\biguplus_{i=1}^{n} C_i) \times A_2) \biguplus (H_1 \times (\biguplus_{j=1}^{m} D_j)) = \bigg(\biguplus_{i=1}^{n} (C_i \times A_2) \bigg) \biguplus \bigg( \biguplus_{j=1}^{m} (H_1 \times D_j) \bigg)

Es decir, E-F es unión finita y disjunta de elementos de \mathcal{S}_1 \times \mathcal{S}_2. Este resultado se puede generalizar por inducción para n semianillos, donde n es un entero positivo mayor o igual que dos. Bastará recordar que se define
\times_{i=1}^{n} S_i = (\times_{i=1}^{n-1} S_i) \times S_n .

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