Corrección errata

En los problemas del Capítulo uno del borrador del texto sobre Teoría de la Medida hay una errata que ya he corregido. Este es el enunciado correcto.

Problema: Sean $\mathcal{S}_1$ y $\mathcal{S}_2$ , semianillos sobre $X$ e $Y$ , respectivamente. Probar que el producto $\mathcal{S}_1 \times \mathcal{S}_2$ es un semianillo sobre $X \times Y$ .
¿Cómo podemos utilizar este resultado para resolver el problema anterior?}
Solución: Sabemos que el vacío pertenece a todo semianillo. Por tanto,
$\emptyset \times \emptyset = \emptyset \in \mathcal{S}_1 \times \mathcal{S}_2$ .
Sean $E$ y $F$ elementos de $\mathcal{S}_1 \times \mathcal{S}_2$ . Hallaremos $A_1, B_1 \in \mathcal{S}_1$ y $A_2, B_2 \in \mathcal{S}_2$ , tales que
$E = A_1 \times A_2, \quad F = B_1 \times B_2$ .
Por ello,
$E \cap F = (A_1 \times A_2) \cap (B_1 \times B_2) = (A_1 \cap B_1) \times (A_2 \cap B_2)$ .
Pero todo semianillo es un $\pi$ -sistema por lo que $A_1 \cap B_1 \in \mathcal{S}_1$ , $A_2 \cap B_2 \in \mathcal{S}_2$ y $E \cap F \in \mathcal{S}_1 \times \mathcal{S}_2$ . Por tanto, el producto cartesiano de semianillos también es un $\pi$ -sistema. Por otro lado,
$E-F = (A_1 \times A_2)- (B_1 \times B_2) = ((A_1-B_1) \times A_2)) \biguplus ((A_1 \cap B_1) \times (A_2-B_2))$ .
Pero sabemos que $A_1-B_1 = \biguplus_{i=1}^{n} C_i$ y $A_2-B_2 = \biguplus_{j=1}^{m} D_j$ , donde $C_i \in \mathcal{S}_1$ y $D_j \in \mathcal{S}_2$ . Por tanto, si hacemos $A_1 \cap B_1 = H_1 \in \mathcal{S}_1$ , tenemos
$E-F = ((A_1-B_1) \times A_2) \biguplus (H_1 \times (A_2-B_2)) =$
$((\biguplus_{i=1}^{n} C_i) \times A_2) \biguplus (H_1 \times (\biguplus_{j=1}^{m} D_j)) = \bigg(\biguplus_{i=1}^{n} (C_i \times A_2) \bigg) \biguplus \bigg( \biguplus_{j=1}^{m} (H_1 \times D_j) \bigg)$

Es decir, $E-F$ es unión finita y disjunta de elementos de $\mathcal{S}_1 \times \mathcal{S}_2$ . Este resultado se puede generalizar por inducción para $n$ semianillos, donde $n$ es un entero positivo mayor o igual que dos. Bastará recordar que se define
$\times_{i=1}^{n} S_i = (\times_{i=1}^{n-1} S_i) \times S_n$ .

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