En los problemas del Capítulo uno del borrador del texto sobre Teoría de la Medida hay una errata que ya he corregido. Este es el enunciado correcto.
Problema: Sean y
, semianillos sobre
e
, respectivamente. Probar que el producto
es un semianillo sobre
.
¿Cómo podemos utilizar este resultado para resolver el problema anterior?}
Solución: Sabemos que el vacío pertenece a todo semianillo. Por tanto,
.
Sean y
elementos de
. Hallaremos
y
, tales que
.
Por ello,
.
Pero todo semianillo es un -sistema por lo que
,
y
. Por tanto, el producto cartesiano de semianillos también es un
-sistema. Por otro lado,
.
Pero sabemos que y
, donde
y
. Por tanto, si hacemos
, tenemos
Es decir, es unión finita y disjunta de elementos de
. Este resultado se puede generalizar por inducción para
semianillos, donde
es un entero positivo mayor o igual que dos. Bastará recordar que se define
.