Pregunta:  El siguiente binomio

(\frac{x^{n-7}}{y^{n+2}}+\frac{y^{2n-3}}{x^{3n-11}})^{n+10}

posee 16 términos. Hallar el termino onceavo de su desarrollo.

Respuesta: El binomio de Newton adopta la forma

(a+b)^m = \sum_{i=0}^{m} \binom{m}{i} a^{m-i} b^{i}

Veamos cómo quedaría al aplicarse a la expresión dada

(\frac{x^{n-7}}{y^{n+2}}+ \frac{y^{2n-3}}{x^{3n-11}})^{n+10}=

\sum_{i=0}^{n+10} \binom{n+10}{i} (\frac{x^{n-7}}{y^{n+2}})^{n+10-i} (\frac{y^{2n-3}}{x^{3n-11}})^{i} .

Ahora bien, suponemos que hay dieciséis términos en este desarrollo y que todos ellos son relevantes. Esto es, que no es posible simplificarlos a partir del desarrollo inicial. En ese caso, tenemos que (n+10)+1 = 16, de donde n=5  y, entonces, el término decimoprimero se obtiene haciendo i=10:

\binom{15}{10} (\frac{x^{-2}}{y^{7}})^{5} (\frac{y^{7}}{x^{4}})^{10}

Sólo restaría simplificar para obtener

\binom{15}{10} x^{-50} y^{35}.